Druksensor ijken en maken van een pV-diagram

Introductie¶

In de experimentele natuurkunde was het lang geleden gelukt om de krachten tussen ladingen te bestuderen zonder dat bekend was hoe groot die ladingen nu precies waren. Men laadde een metalen bol op en hield deze tegen een andere metalen bol van hetzelfde materiaal. Men redeneerde dat de ladingen op de bollen gelijk waren, omdat ze van hetzelfde materiaal waren. Vervolgens plaatste men de bollen in een vacuüm en mat men de krachten tussen de bollen met een zeer gevoelige balans. Op deze manier kon men de krachten tussen de ladingen bestuderen zonder de absolute waarde van de ladingen te kennen. Dit trucje kon herhaald worden met andere bollen waarna een kwantiatieve beschrijving van de krachten tussen ladingen mogelijk werd.

Een soortgelijke meettechniek gaan we gebruiken om een druksensor te ijken. Van de sensor zijn wel wat dingen bekend, maar omdat de spanning van de Arduino niet overeenkomstig is met de gewenste spanning, zouden we deze moeten ijken. We weten dat de sensor lineair is, dus als we twee punten weten, kunnen we de rest van de curve bepalen. Nog beter zou het zijn om drie punten te nemen en zo ook het lineaire karakter van de sensor te bevestigen.

Theorie¶

Een injectiespuit met een maximaal volume van 50 mL is gevuld met lucht. De spuit kan aan een kant afgesloten worden met een tube die verbonden is met een druksensor die de gasdruk meet. Door de zuiger van de spuit in te drukken, wordt het volume verkleind en de druk verhoogd. Wanneer we de druk langzaam in drukken verwachten we dat de druk in de spuit volgens de wet van Boyle toeneemt:

P_1 V_1 = P_2 V_2

(1)

Omdat de gemeten spanning van de druksensor lineair afhankelijk is van de druk, kan de druk uitgedrukt worden als:

P = a U + b

(2)

Methode en materialen¶

Je maakt gebruik van een Arduino. Daarvoor heb je de juiste IDE nodig. Het programma staat al op de Arduino’s in het lokaal. Zodra je de Arduino aansluit op je computer zal de Arduino gaan meten, maar zijn de metingen nog niet zichtbaar. Je moet de Arduino op Arduino MKR Zero zetten. Dan wordt nog wel een driver geinstalleerd.

Controleer of de Arduino herkend wordt door op tools -> port te klikken, daar staat de com poort van de Arduino. Open vervolgens de seriële monitor (het vergrootglas rechtsboven in de IDE) om de gemeten spanning te zien.

int drukpin = A1;

void setup() {
  pinMode(A1,INPUT);
  Serial.begin(9600);
}

void loop() {
  Serial.println(analogRead(drukpin));
  delay(100);
}

Deel 1¶

Stel de injectiespuit in op 40 mL en sluit de spuit aan op de druksensor door middel van een zo klein mogelijke tube. Meet de spanning van de druksensor met de Arduino en noteer deze waarde als $U_1$ . Druk vervolgens de zuiger langzaam in tot 20 mL en meet opnieuw de spanning van de druksensor, noteer deze waarde als $U_2$ . Herhaal dit voor volumes van 10 mL.

Leg uit waarom een zo klein mogelijke tube gebruikt moet worden.
Welke waarde hoort bij de gasdruk bij 40 mL? Zoek deze waarde op.
Welke waarden horen bij de gasdruk bij 20 en 10 mL?
Gebruik de drie punten om de waarden van $a$ en $b$ in vergelijking 2 te bepalen en controleer of de sensor inderdaad lineair is door de waarden te plotten.

Deel 2¶

Vervang daarbij de kleine tube voor een langere en bepaal het onbekende volume van de tube met een volgende meetserie waarbij je de druk en het volume bepaald. Zorg ervoor dat ook drukken onder de 1 atm gemeten worden.

Resultaten¶

### Jouw data en code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

V = np.array([40, 20, 10]) # Volume in mL


U_spuit = np.array([181, 310, 450]) # bits
U_verwacht = np.array([181, 310, 568]) # bits

pressure = np.array([1.01325, 2.02650, 4.05300]) # Pressure in bar

# a en b bepaald met de wet van Boyle
a_bep = 0.007854651163
b_bep = -0.4084418605

def press(U, a, b):
    return a * U + b

popt, pcov = curve_fit(press, U_spuit, pressure)
a, b = popt
perr = np.sqrt(np.diag(pcov))
print(f"Fitted parameters: a = {a}, b = {b}")
print(f"Parameter errors: a_err = {perr[0]}, b_err = {perr[1]}")

plt.figure()
plt.errorbar(U_spuit, pressure, xerr=1,  yerr=press(U_spuit, perr[0], perr[1]), fmt='o', label='Data with error bars')
plt.plot(U_spuit, press(U_spuit, *popt), 'r--', label='Fitted line')
plt.plot(U_verwacht, press(U_verwacht, a_bep, b_bep), 'g-', label='Theoretical line')
plt.xlabel('U (bits)')
plt.ylabel('Pressure (bar)')
plt.legend()
plt.show()

Fitted parameters: a = 0.01134520544414165, b = -1.1943627749534211
Parameter errors: a_err = 0.0019068715205965469, b_err = 0.6337405510577393

V_spuit = np.array([50, 40, 30, 20]) # Volume in mL
U_buis = np.array([181, 213, 260, 343]) # bits
p = press(U_buis, a_bep, b_bep) # Pressure in bar

# We nemen aan dat 
pv_boyle = p[0] * V_spuit[0]

def U_boyle(V, dV):
    return (pv_boyle / (V + dV) - b_bep) / a_bep

popt_boyle, pcov_boyle = curve_fit(U_boyle, V_spuit, U_buis)
V_fit = np.linspace(0, 50, 100)

plt.figure()
plt.plot(V_spuit, U_buis, 'o', label='Data points')
plt.plot(V_fit, U_boyle(V_fit, *popt_boyle), 'r--', label='Fitted curve')
plt.xlabel('Volume (mL)')
plt.ylabel('U (bits)')
plt.legend()
plt.show()
print(f"Fitted dV: {popt_boyle[0]} mL")

Fitted dV: 1.7905127945903103 mL

Discussie¶

Deel 1¶

We weten dat de druk van de lucht gelijk is aan 1 atm. We weten ook dat $P_1V_1=P_2V_2$ , dus als $P_1V_1=P_2(V_1 / 2)$ dan is $P_2=2*P_1$ , hetzelfde geldt voor $V_3=V_1 /4$ en $P_3=4*P_1.$

Het bepalen van a en b met de drie punten volgens vergelijking 2 laat ons zien dat er waarschijnlijk iets mis is gegaan bij de derde meting. De derde meting was 450 bits, terwijl we met de wet van Boyle 568 bits hadden verwacht.

Deel 2¶

De berekende volume is niet heel erg nauwkeurig, waarschijnlijk is er op een of andere manier lucht uit het tube ontsnapt waardoor de wet van Boyle niet meer van toepassing is. Voor dit experiment zouden we veel kleinere stappen nemen voor de volume, om meer data te verzamelen en het vermindert ook hoeveel lucht uit het buis lekt.